《高等数学（下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》根据高等学校工科类专业本科生的数学基础课程教学基本要求，以高等教育应用型本科人才培养计划为标准，结合全国教育科学规划课题《大学数学与高中新课程标准相衔接的教学模式研究与实践KDIA090199》 的研究成果，在充分吸收编者们多年的教学实践经验的基础上编写而成。
《高等数学（下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》主要内容包括：向量代数与空间解析几 何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容，此外 还介绍了 MATLAB软件在高等数学中的应用.各章节后配有习题，每章后 配有复习题（包括A基本题和B拓展题）。
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目录
第6章 向量代数与空间解析几何 1
6.1 向量及其线性运算 1
6.1.1 向量概念 1
6.1.2 向量的线性运算 2
6.1.3 空间直角坐标系 4
6.1.4 用坐标表示向量相关概念与运算 5
6.1.5 向量在轴上的投影 7
习题6.1 8
6.2 两向量的数量积和向量积 9
6.2.1 两向量的数量积 9
6.2.2 两向量的向量积 10
6.2.3 三个向量的混合积 12
习题6.2 13
6.3 平面及其方程 13
6.3.1 平面的点法式方程 13
6.3.2 平面的一般方程 14
6.3.3 平面的截距式方程 15
6.3.4 两平面的夹角 15
6.3.5 点到平面的距离 16
习题6.3 17
6.4 空间直线及其方程 17
6.4.1 空间直线的一般方程 17
6.1.2 空间直线的对称式方程 17
6.4.3 空间直线的参数方程 19
6.4.4 两直线的夹角 20
6.1.5 直线与平面的夹角 20
6.4.6 平面柬 21
习题6.4 22
6.5 曲面及其方程 23
6.5.1 曲面的方程 23
6.5.2 旋转曲面 25
6.5.3 柱面 28
6.5.1 二次曲面 29
习题6.5 32
6.6 空间曲线及其方程 32
6.6.1 空间曲线的一般方程 32
6.6.2 空间曲线的参数方程 33
6.6.3 空间曲线在坐标面的投影 34
习题6.6 35
本章小结 36
总习题6 37
第7章 多元函数微分学 39
7.1 二元函数的极限与连续性 39
7.1.1 平面点集 39
7.1.2 二元函数的概念 40
7.1.3 二元函数的图像 41
7.1.4 二元函数的极限 42
7.1.5 二元函数的连续性 43
习题7.1 44
7.2 偏导数 45
7.2.1 偏导数的定义 45
7.2.2 二元函数偏导数的几何意义 47
7.2.3 一阶偏导数的求法 47
7.2.4 高阶偏导数 48
习题7.2 50
7.3 全微分 51
7.3.1 全微分的定义 51
7.3.2 全微分、偏导数与连续的关系 52
7.3.3 一元函数与多元函数之微分学对比图示 53
7.3.4 全微分计算 53
7.3.5 全微分在近似计算中的应用 54
习题7.3 54
7.4 复合函数与隐函数微分法 55
7.4.1 复合函数的求导法则（链式法则） 55
7.4.2 一阶全微分形式不变性 58
7.4.3 隐函数的求导法则 58
习题7.4 60
7.5 方向导数和梯度 61
7.5.1 方向导数的定义 61
7.5.2 方向导数、偏导数、连续与微分的关系 62
7.5.3 方向导数的计算 62
7.5.1 梯度 63
习题7.5 63
7.6 偏导数在几何上的应用 64
7.6.1 空间曲线的切线与法平面 64
7.6.2 空间曲面的切平面与法线方程 65
习题7.6 66
7.7 多元函数的极值及应用 67
7.7.1 多元函数的极值 67
7.7.2 多元函数的最值 69
7.7.3 条件极值 70
习题7.7 72
本章小结 72
总习题7 73
第8章 重积分 76
8.1 二重积分的概念与性质 76
8.1.1 二重积分概念的引入 76
8.1.2 二重积分的概念 77
8.1.3 二重积分的几何意义 78
8.1.1 二重积分的性质 78
8.1.5 利用对称性化简二重积分 80
习题8.1 81
8.2 二重积分的计算 82
8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 82
8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 87
习题8.2 93
8.3 三重积分 95
8.3.1 概念的引入 95
8.3.2 三重积分的概念 96
8.3.3 三重积分的计算 96
习题8.3 106
8.4 重积分的应用 106
8.4.1 立体的体积 107
8.1.2 曲面的面积 109
8.4.3 质心 114
8.4.4 转动惯量 116
8.4.5 引力 117
习题8.1 121
本章小结 122
总习题8 122
第9章 曲线积分与曲面积分 125
9.1 对弧长的曲线积分 125
9.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 125
9.1.2 对弧长的曲线积分的计算 126
习题9.1 128
9.2 对坐标的曲线积分 129
9.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 129
9.2.2 对坐标的曲线积分的计算 131
9.2.3 两类曲线积分之间的联系 135
习题9.2 136
9.3 格林公式及其应用 137
9.3.1 格林公式 137
9.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 142
9.3.3 二元函数的全微分求积 144
习题9.3 146
9.4 对面积的曲面积分 147
9.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 147
9.4.2 对面积的曲面积分的计算 148
习题9.4 151
9.5 对坐标的曲面积分 152
9.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 152
9.5.2 对坐标的曲面积分的计算 155
9.5.3 两类曲面积分之间的联系 157
习题9.5 159
9.6 高斯公式与斯托克斯公式 160
9.6.1 离斯公式 160
9.6.2 斯托克斯公式 163
习题9.6 165
本章小结 166
总习题9 166
第10章 无穷级数 171
10.1 常数项级数的概念与性质 171
10.1.1 常数项级数的概念 171
10.1.2 常数项级数的基本性质 174
习题10.1 176
10.2 数项级数的审敛法 177
10.2.1 正项级数及其审敛法 177
10.2.2 交错级数及其审敛法 183
10.2.3 任意项级数及绝对收敛 184
习题10.2 186
10.3 幂级数 187
10.3.1 函数项级数的概念 187
10.3.2 幂级数及其收敛域 188
10.3.3 幂级数的运算与性质 192
10.3.1 函数展开成幂级数 194
10.3.5 函数幂级数展开式的应用 198
习题10.3 200
10.4 傅里叶级数 201
10.4.1 三角级数与三角函数系的正交性 201
10.4.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数 202
10.4.3 只在[-π，π]上有定义的函数的傅里叶展开 206
10.4.4 只在[0，π]上有定义的函数的傅里叶展开 207
10.4.5 以2l为周期的函数的傅里叶级数 209
习题10.4 211
本章小结 212
总习题10 213
部分习题参考答案 216
参考文献 230
附录D MATLAB实验（下） 231
D1 空间曲面和空间曲线绘图的MATLAB命令 231
D2 求偏导数的MATLAB命令 233
D3 求重积分的MATLAB命令 235
D4 求曲线积分与曲面积分的MATLAB命令 236
D5 元穷级数运算的MATLAB命令 238
《高等数学（下册）/普通高等教育“十二五”规划教材》：
第6章 向量代数与空间解析几何
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题.要把代数运算引人到几何中来，首先就要把几何结构代数化、数量化.在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形与方程对应起来，从而实现了用代数的方法来研究平面几何的目的.空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.空间解析几何对学习多元函数微积分和力学等课程有很大帮助，并且它本身的内容对于解决一些实际问题也是很有用的。
本章先引人向量的概念，根据线；性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并通过代数的方法研究空间中的一些常见的曲线和曲面。
6.1向量及其线性运算
6.1.1向量概念
现实生活中，只有大小的量称为数量；像位移、速度、加速度、力、力矩等这类既有大小，又有方向的量称为向量（或矢量）.
我们通常用有向线段来表示向量，其长度代表向量的大小，其方向表示向量的方向.以A为起点，B为终点的向量，记作^6（图6.1），
有时也用一个黑体字母表示，例如，还可用6，6，6表示.向量的大小称为向量的模，向量@与a的模分别记作||与|a|.
模等于1的向量称为单位向量，与向量a方向相同的单位向量称为向量a的单位向量，记作e。或6a.
模等于0的向量称为零向量，记作0或$零向量是起点与终点重合的向量，它的方向可以看作是任意的.
与向量a的模相同而方向相反的向量称为汉的负向量，记作显然.我们把向量看作是有向线段，若向量a与，所在的直线相互平行，就称向量a与b相互平行，记作a/，类似地，我们可以说一个向量与一条直线或一个平面平行等.
若两个向量的模相等且方向相同，就称向量a与b是相等的，记作a=b.
量是等与它的起点只它的和方决
在数学上，我们研究的正是这种与起点无关，而只由模和方向决定的向量，这种向量称为自由向量.自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍代表原来的向量.在自由向量的意义下，相等的向量都可以看作是同一个自由向量.由于自由向量起点可任取，在讨论中我们可以按照需要选取某一点作为所研究的这些向量的公共起点，这种做法称为把一些向量归结到了共同的起点。
如果把彼此平行的一组向量归结到共同的起点，这组向量一定在同一直线上，因此，把平行于同一直线的一组向量称为共线向量.零向量与任何共线的向量组共线.
如果把平行于同一平面的一组向量归结到共同的起点，这组向量一定在同一个平面上，因此，把平行于同一平面的一组向量称为共面向量.零向量与任何共面的向量组共面。
A设有两个非零向量a与fc，任取空间一点0，作OA=a，OB=ft，
记=规定0<1<1我们把1称为向量a与b的夹角（图6.2），记作<？，>或<3>，也可以记作
如果向量a与中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在0到1之间任意取值.
图62显然，若两向量a与平行，则=0或1而若=
1，就称向量a与fc垂直，记作a丄b.
由于规定了零向量与任一向量间的夹角可以在0到1之间任意取值，因此，可以认为零
6.1.2向量的线性运算
向量的加法、减法以及数乘统称为向量的线性运算.
1.向量的加减法
定义6.1.1设有两个向量a与fc，任取空间一点0为起点，作0A=a，AB=fc，则向量0B=c称为两向量a与fc的和，记作c=a+fc.
求两已知向量的和的运算称为向量加法.
根据向量加法的定义，有=$，这种求两个向量和的方法，称为三角形法则（图6.3）.
如果把两个向量a与M3结到共同的起点0，作0A=a，（$=fc，并以0A与为邻边作O0ACB，那么对角线向量（6=0^+C^，这种求两个向量和的方法称为平行四边形法则（图6.4）.实际上，平行四边形法则可归结为三角形法则，只需进行向量的平移即可。
特别地，有
向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：a+fc=fc+a；
（2）结合律：（a+fc）十c=a十（（c）.
上述运算规律通过三角形法则容易证明，留给读者自行证明.
由于向量的加法满足交换律和结合律，因此任意有限个向量ai，a'， ，an的和，就可以i己作向量加法的三角y法则可以p广得到任意有^个向量相加的法则：任取空间一点o为起点，首尾相连，作可得一条折线OA：A2 A？，则向量
OAn=a就是这n个向量a：，a2， ，1的和，即OAnzOAi+AA'H（A*#An.这种求和
的方法称为多边形法则.
前面已经定义了负向量，向量的减法可以通过负向量来规定：
两个向量a与b的差a—6=a+（—6）（图6.5）.
根据向量减法的规定，可以得到向量等式的移项法则：0++.
向量加法还满足下列不等式：
对于任何两个向量a与6，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边，有a+b&a+b（当a与6同向时等号成立）a—b\&a+b（当a与6反向时等号成立）.
上述不等式还可以推广到任意有限个向量的情况（读者可根据数学归纳法自行证明）
例6.1.1如图6.6所示，在平行六面体ABCD—AiB1C1Dj中，设AB=a，AD=b，11：=（；，试用a，b，c来表
示向量16和1#C.
2.数与向量的乘法
在物理学中，我们非常熟悉的牛顿第二定律的数学形式/=_，这个表达式用到了数与向量之间的乘法关系，这种关系在物理学中经常会被用到，再比如s=vt.
定义6.1.2实数A与向量a的乘积仍是一个向量，记作a，它的模为|a|=6||a|，
当A>0时，其方向与汉相同，当A<0时，其方向与a相反，这种运算称为数与向量的乘法，简称数乘.
根据上述定义，显然，当6=0或a=0时，|Aa|=|A||a|=0，此时6a=0，它的方向可以是任意的；当若已知向量a及其单位向量ea，根据数乘的定义，等式a=|ak显然成立，所以当时，有
数乘运算满足下面的运算律
（1）结合律：
（2）分配律：
其中，a，b为向量，A#为任意实数.
由于向量Aa与a平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系.
定理6.1.1设有非零向量a，向量，平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数A，使b>=Aa.
证明一方面，若存在唯一的实数则根据数与向量的乘法定义，当A>0时，b与a同向；当A<0时，b与a反向，因此，b平行于a.
另一方面，若b平行于a则b与a或者同向，或者反向.DA与a同向时，取，=jb|；当b与a反向时，取与Aa方向相同，且，因此b=Aa.
再证A的唯一性.设有b=A#a和b=A2a，两.式相减有0=（Ai—A2）a，即6一6||a|=0，由于a为非零向量，所以Ai-2=0，即Ai=A.证毕.
例6.1.2利用向量证明连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的
一半。
由此例可见，我们可以利用向量运算来证明一些几何命题。
6.1.3空间直角坐标系
在空间中取定一点o和三个两两相互垂直的有序单位向量i66，就确定了三条都以？为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成了一个空间直角坐标系，称为C/yz坐标系或[0；c]坐标系，点0称为坐标原点。
三个坐标轴的正向通常符合右手螺旋规贝IJ，如图6.8贝申出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向i的方向轴正方向），然后让四指沿握拳方向旋转90°，指向j的方向（y轴正方向），此日寸大拇指指向k的方向（轴正方向）。
每两条坐标轴所确定的平面称为坐标面’按照坐标面所包含的坐标轴’分别称为z0：y面、：yOz面6Or面.三张坐标面把空间分成八个区域，每个区域称为一个卦限，这八个区域分别称为八个卦限，如图6.9所示。
任意取定向量r，由于我们所的向量均指自由向量，因此可以将r的起点取作原点0，记0=r，M为r的终点.以0M为对角线、三条坐标轴为棱作长方体（图6.10），
这个式子称为向量r的坐标分解式，k分别称为向量r沿x轴，y轴，z轴方向的分向量.
通过上述讨论可以看出，取定向量r，就确定了点M及一个有序数组（x，y，z）；反过来，给定一个有序数组（x，y，z），也可以确定一个向量r及一个点M.因此，向量r，点M，有序数组（x，y，z）三者之间存在一一对应的关系.
定义6.1.3中的有序数组（x，y，z）称为向量r关于坐标系[0；i，j，k]的坐标，记作r=（x，y，z）.
定义6.1.4对于坐标系[0；i，j]中的任意一点M，向量0M称为点M的向径.向径0M关于[0，j]的坐标（r，y，z）称为点M关于[0；i，j，k]的坐标，记作M（x，y，z）.
坐标轴上、坐标面上及各个卦限当中的点的坐标各有特点，例如x轴上任一点的坐标形式为（x，0，0）；：0y面上任一点的坐标形式为（x，y，0）第I卦限中任一点的三个坐标均为正等，这里不一一列举，请读者自己试着分析总结。
……
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