《高等代数习题答案与提示》为《高等代数》（丘维声著, 科学出版社2013 年3 月出版）配套的习题解答与提示, 汇集了《高等代数习题答案与提示》的全部习题, 计算题给出了答案, 证明题给出了关键性的提示, 并且对于相当一部分习题给出了详解, 这些解法都很有特色, 是高等代数课程的组成部分.
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《高等代数习题答案与提示》可作为综合性大学、理工科大学和高等师范院校的高等代数课程教学参考书或配套辅导资料.
目录
引言的习题 1
第一章 线性方程组的解法 2
习题1.1 2
习题1.2 2
习题1.3 3
补充题一 3
第二章 行列式 5
习题2.1 5
习题2.2 5
习题2.3 5
习题2.4 6
习题2.5 6
习题2.6 7
补充题二 7
第三章 线性空间 8
习题3.1 8
习题3.2 8
习题3.3 8
习题3.4 9
习题3.5 9
习题3.6 11
习题3.7 1l
习题3.8 11
习题3.9 13
习题3.10 14
习题3.1l 14
习题3.12 15
补充题三 16
第四章 矩阵的运算 18
习题4.1 18
习题4.2 20
习题4.3 21
习题4.4 22
习题4.5 24
习题4.6 25
习题4.7 29
习题4.8 30
补充题四 31
第五章 一元多项式环 33
习题5.1 33
习题5.2 34
习题5.3 34
习题5.4 36
习题5.5 39
习题5.6 39
习题5.7 42
习题5.8 44
习题5.9 46
补充题五 48
第六章 线性映射 50
习题6.1 50
习题6.2 51
习题6.3 53
习题6.4 56
习题6.5 61
习题6.6 66
习题6.7 74
习题6.8 81
习题6.9 86
习题6.10 93
习题6.1l 94
习题6.12 102
习题6.13 107
补充题六 112
第七章 双线性函数，二次型 119
习题7.1 119
习题7.2 121
习题7.3 125
习题7.4 130
习题7.5 133
习题7.6 138
补充题七 142
第八章 具有度量的线性空间 145
习题8.1 145
习题8.2 147
习题8.3 155
习题8.4 160
习题8.5 170
习题8.6 181
习题8.7 182
习题8.8 188
习题8.9 190
补充题八 191
第九章 n元多项式环 192
习题9.1 192
习题9.2 193
习题9.3 195
补充题九 198
参考文献 200
第一章线性方程组的解法
习题1.1
1. (1) (1,.2, 3).; (2) (2, .1, 1, .3).; (3) (.8, 3, 6, 0).; (4) (.2, 1, 3, .1).,提示：第(4)小题的第一步：把第二行的(.1)倍加到第一行上,使得矩阵的左上角元素为1.
2.(1)给A1,A2,A3分别投资65 , 35 ,7.5千元.
(2)相应的线性方程组的解是(.5,10,5),单位为千元,这不是可行解.因此投给A3的钱不能等于投给A1与A2的钱的和.
习题1.2
1. (1) 无解; (2) 有无穷多个解, 一般解是
其中x3是自由未知量;
(3) 有无穷多个解, 一般解是
..
..
. ...
11 23
x1 = . 7 x3 +7 , 51
x2 ,
= .7 x3 . 7
x1 = x3 . x4 . 3, x2 = x3 + x4 . 4,
其中x3,x4是自由未知量.
2. 原线性方程组有解当且仅当a = .1, 此时它的一般解是
...
..
18 1
x1 = . 7 x3 +7 , 12
x2 = .7 x3 +7 ,
其中x3是自由未知量.
3. 原线性方程组有解当且仅当a = . 2,此时方程组有唯一解.(详细参考文献[1]的第19页例2.).3
4. 原线性方程组有解当且仅当c =0 且d = 2, 此时它的一般解是
.. .
x1=x3+x4+5x5. 2, x2 = .2x3. 2x4. 6x5+3,
其中x3,x4,x5是自由未知量.
5.(1)l1,l2,l3有唯一的公共点P.1 , 1
.2 2
(2)令l4:4x. 4y = .3,则l1,l2,l4没有公共点.(详见参考文献[1]的第19～20页例3.)
6.不存在二次函数,其图像经过点P、Q、M、N.
7. (1) 有非零解. 它的一般解是
..
. .
.
x1 = .3x4,x2=x4,x3=2x4,
其中x4是自由未知量.(详见参考文献[1]的第21～22页例5.)
(2)方程个数3小于未知量数目4,因此齐次线性方程组有非零解.它的一般解是
..
..
.
55
x1=x4,
41
10
x2=x4,
41 33
x3x4,
= .41
其中x4是自由未知量.
8.总利润的最大值为1.35万元,最小值为1.25万元.投给A1,A2,A3的钱分别为0,5,5(万元)时,总利润达到最大值1.35万元.(详见参考文献[1]的第20～21页例4.)
习题1.3
1. 类似于本节例1 的证法.
2. 类似于例1 的证法.
补充题一
naisaja1a2an
j=1
1 11 11. xi
bi
=
ai . bj
i=1,2,,n,其中s=1+
···
.
(详见参考文
+++
,
···
献[1]的第25～26页的补充题一的第1题.)
2.
n
..
.. ....
1 2
i =1, 2, ,n . 1;···. bi+bi+1bjxi = ,
n(n+1)
n
j=1
..
..
2
n(n+1)
nj=1
bj
..
+ b1
..
.xn =
1
n
. bn
(详见参考文献[1]的第26～27页的第2题.)
3. 一般解是：
.x1 + n,.
= .xn+2.···. x2n x2=xn+2. 1,
x3=xn+3. 1,
.
.
············
xn.1 = x2n.1 . 1, xn=x2n. 1 . xn+1=.xn+2.···. x2n+n+1,
其中xn+2,xn+3,,x2n是自由未知量.(详见参考文献[1]的第27页的第3题.)
···
第二章行列式
习题2.1
1.(1)6,偶排列;(2)11,奇排列;(3)15,奇排列;(4)15,奇排列;(5)18,偶排列;(6)36,偶排列.
2.τ(n(n. 1) 321)= 1 n(n. 1).当n=4k或4k+1时,n(n. 1)321是偶排列,当···2 ···
n=4k+2或4k+3时,是奇排列.(详见参考文献[1]的第32页例2.)1
3.(1)
(n . 1)(n . 2); (2) n . 1.
4. . 12 nk(n . . 1) . 1 r.(详见参考文献[1]第32页例3.)
5. . ai . 2 k(k+1).(详见参考文献[1]第32页例4.)
2
i=1
6. (1) 11; (2) 0; (3) 0; (4) λ2 + a2; (5) λ2 + 4.
习题2.2
1. (1)(.1)n.1a1a2an.1an;(2)(.1) 12 (n.1)(n.2)a1a2an.1an.
······
2.0.(详见参考文献[1]的第37页的例3.)
3. x 的4 次多项式. x4 项的系数为7,x3 项的系数为.5.(详见参考文献[1]的第37～38页例4.)
4.详见参考文献[1]的第38页的例5.
5. 提示：在|A| 的表达式中,每一项或者等于1,或者等于.1.设有k项等于1,则有(n!. k) 项等于.1.
习题2.3
1. (1) .500.(详见参考文献[1]的第44～45页例1)(2)160.
. n.
2. (.1)n.1bn.1 . ai . b.i=1
3.(1)利用性质3.(2)利用性质3.
4. (1) a1 . a2b2. a3b3.···. anbn.(提示：把第2列的(.b2)倍加到第1列上,··· ,把第n列的(.bn)倍加到第1列上.)
(2)当n.3时,行列式的值为0;当n=2时,行列式的值为(a1. a2)(b2. b1);当n=1时为a1+b1.
习题2.4
1. (1) 100; (2) 726.
2. (1)(λ . 1)(λ . 3)2; (2) (λ + 2)2(λ . 2)2 .
3.Dn=n+1.(详见参考文献[1]第56页的例5.)
4. Dn = an+1. bn+1.(详见参考文献[1]第56页例6.)
a . b
5.Dn=(n+1)an .(详见参考文献[9]第435～436页第4题的解答.)
6. (.1)n.1 21(n+1)nn.1 .(详见参考文献[1]的第57～58页例7.)
7. (.1) 12n(n.1) 21(n+1)nn.1 .(提示：把第n. 1行的(.1)倍加到第n行上,把第n. 2
行的(.1) 倍加到第n . 1行上,依次类推,把第1行的(.1)倍加到第2行上;然后把第2,3,,n列都加到第1列上.)
···
8. .2(n . 2)!.(提示：把第1行的(.1)倍分别加到2,3,,n行上,然后按第2列
···
展开.)y(x. z)n . z(x. y)n
9. Dn = y . z .(详见参考文献[1]的第369页第7题的解答.)
10.利用性质3.(详见参考文献[1]第58页的例8.)
11.(1)n.3时,行列式的值为0;n=2时,行动式的值为(x1. x2)(y1. y2);n=1时
为1+x1y1..tt.
(2) n! 1+ t +++ .
2 ··· n
12.Dn=(x1+x2++xn).(xi. xj).(详见参考文献[1]的第59～60 页
···
1.j例11.)
13. 3n+1. 2n+1.(提示：先按第1列展开,然后用类似于第4题的解法.)
14..(xi. xj).(详见参考文献[1]第59页例10.)
1.j习题2.5
1.唯一解.(详见参考文献[1]的第65～66页例1.)
2. 当a =1 .且b =0 .时, 有唯一解; 当a =1 且b = 12 时, 有无穷多个解; 当a =1 且
b =.12 时,无解;当b=0时,也无解.(详见参考文献[1]的第66～68页例3.)
3.有非零解当且仅当λ=1或λ=3或λ=5.(详见参考文献[1]的第66页例2.)
4.利用本节定理1和范德蒙行列式可得,存在唯一的次数小于n的多项式函数经过所给的n个点.
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