本书是由编者参加第五届全国高校青年教师教学竞赛的教案改编而成的,也是编写团队多年教学经验的总结.
本书选取了微分几何课程中的20个教学知识点,对课堂教学行为进行了精心的设计,力图增强学生对概念的直观认识和对抽象内容的理解,增加课程的趣味性,激发学生的学习兴趣,帮助学生在学习中体会科学研究的规律、感受数学思维在科学研究中的指导性和重要性,最终提高教学质量和教学效果.
本书适合高等院校微分几何课程教师参考,也可作为大学生学习微分几何的参考书.
本书融合了编写团队参加全国高校青年教师教学竞赛的备赛成果,也是编写团队多年教学经验的总结.主编刘白羽以本书为基本素材于2020年参加了第五届全国高校青年教师教学竞赛,并获得理科组一等奖.
前 言
微分几何是应用微积分的理论研究空间几何问题的数学分支,它以微积分作为主要工具研究平面和空间中曲线、曲面的几何性质.微分几何课程是数学类本科生在学完解析几何、高等代数和数学分析等基础课程后开设的一门综合性课程,也是重要的专业课之一.微分几何课程的内容是经典的,但它所蕴含的数学思想和方法,以及运用数学基础知识解决问题的方法,对于培养全面的数学人才是十分重要的.
本书选取了微分几何课程中的20个教学知识点,通过“问题提出、问题分析、知识构建、问题解决、应用拓展”的教学模式,对课堂教学行为进行了精心设计,力图增强学生对概念的直观认识和对抽象内容的理解,增加课程的趣味性,激发学生的学习兴趣,帮助学生在学习的过程中体会科学研究的规律、感受数学思维在科学研究中的指导性和重要性.最终提高教学质量和教学效果.
本书融合了编写团队参加全国高校青年教师教学竞赛的备赛成果,也是编写团队多年教学经验的总结.主编刘白羽以本书为基本素材于2020年参加了第五届全国高校青年教师教学竞赛,并获得理科组一等奖.
编者特别感谢曹丽梅、李博通、何洋、傅双双、张林桐等多位老师在本书的编写过程中提供的帮助.
本书是北京市教育工会授予的“北京高校青年教师示范教研工作室”的建设内容之一,感谢北京市教育工会的资助和北京科技大学工会、教务处的支持.
由于编者水平有限,本书错漏之处在所难免,恳请读者不吝指正.
编 者
教学设计总论
一、课程的一般信息
1.基本信息
课程名称:微分几何.
课程类别:数学专业必修课.
教学学时:48学时.
授课对象:数学专业大三本科学生.
先修课程:数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程.
2.课程简介
“微分几何”是应用微积分的理论研究空间几何问题的数学分支,是数学类本科生在学完解析几何、高等代数和数学分析等基础课程后开设的一门综合性课程,也是重要的专业课之一,对培养学生的空间想象能力和直觉能力都有很大的作用.它以微积分作为主要工具研究平面和空间中的曲线、曲面的局部及整体几何性质,在研究的过程中理解并挖掘微积分的相关内容,培养学生分析和解决问题的能力.通过“数”与“形”的有机结合,帮助学生架起由初等几何通往现代微分几何的桥梁.随着计算机科学的迅速发展,大批功能强大的数学软件涌现出来,经典理论和现代信息技术的结合为这门课程注入了新的活力,使其在自然科学和工程技术的各个领域得到了越来越广泛的应用.
3.主要内容
“微分几何”课程的主要内容由曲线论、曲面论和整体微分几何初步三部分组成.本课程先介绍曲线或曲面的局部性质,这部分在讲解基本概念、基本理论和基本方法的基础上,着重于基本思维方法的训练,培养学生思维的抽象性、逻辑性和严谨性.后续的整体微分几何初步的内容是以局部性质为基础来研究曲线和曲面的整体性质,进一步培养学生的抽象思维能力和逻辑推理的能力.
本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论.本课程的难点是抽象性及其用微积分解决几何问题的方法.
4.教学意义
“微分几何”课程是数学类本科生在学完数学专业基础课程后开设的一门综合性课程,是后续学习“微分流形”“黎曼几何”等课程的先修课程,也是在各个学科领域中进行理论研究和实践工作的必要且重要的基础课程.
微分几何的教学能够培养学生的几何直观和空间想象能力,提高学生运用数学分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力,使学生初步接触到现代几何的思想和方法,为进一步学习现代数学及应用打下基础.特别是微分几何中应用部分的教学、微分几何中概念的实际背景的教学,能够帮助学生了解微分几何的实际应用,培养学生理论联系实际的能力,从而提高学生应用数学的意识和综合能力,为自觉地应用数学思想和数学知识解决专业中的问题和以后的学习、工作打下基础.
二、学生的特点分析
1.知识基础
本课程的对象为数学专业大三本科学生,他们通过前两年对数学专业课程的学习,完成了从中学到大学的过渡,并已掌握了必要的数学方法,具备了一定的数学思想和素养.本课程的先修课程为数学分析、高等代数、解析几何以及常微分方程.
2.认知特点和学习风格
通过两年大学的学习和生活,大三的学生既具备了学习的心理条件又有较为充分的深入学习的心理准备,他们的学习兴趣和学习热情处于全盛时期,独立学习能力日益增强,这一阶段的学生对于所学理论知识如何应用于实际产生了浓厚的兴趣,学以致用的意识不断增强,学习的专业要求进一步明确,学生的专业方向逐步明晰,因此在授课过程中要根据数学专业学生的课程发展需求,有意识地进行引导,如“是否存在完美的世界地图”与如何度量曲面弯曲程度的问题、肥皂膜实验与极小曲面问题、从平面上的Crofton公式扩展到球面上的Crofton公式等.为激发学生的学习主动性和学习热情,在课堂教学中应注重理论应用部分的展示,通过贴近生活的实际应用案例,帮助学生深刻理解相关理论,深化“数”与“形”的有机结合,开阔学生视野,真正达到“学以致用”的目的.
三、教学进程设计
1.教学手段与教学模式
1)教学手段:动态多媒体课件、数学软件作图、教具,板书和讲解有机结合,将抽象思维同形
高等院校教师
目 录
前言
教学设计总论
二维码清单
曳物线1
曲线的曲率、挠率和伏雷内公式13
等距变换25
保角变换38
高斯曲率49
主曲率59
直纹面71
可展曲面81
测地线90
平行移动100
极小曲面111
伪球面121
庞加莱圆盘133
卷绕数和毛球定理145
等周不等式157
四顶点定理167
等宽曲线177
Crofton公式188
球面上的Crofton公式198
纽结与Fary-Milnor定理207
参考文献219
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