物质点法改进算法及其工程应用_孙政，周晓敏著_9787548746614

本书主要研究物质点法的算法和扩展其工程应用。在算法方面：首先，基于粒子子域积分代替物质点积分，提出粒子子域积分物质点法，消除物质点法的积分误差，提高计算精度和计算收敛性；其次，基于B样条基函数代替物质点法的线性插值形函数，归结了B样条物质点法的基本概念，对B样条物质点的计算精度、计算收敛性和计算效率等方行了系统研究而，分别基于截断层次B样条、局部加密B样条和桥域法，提出了B样条物质点法的背景网格局部细化算法，通过具体算例验证算法有效性。在工程应用方面：一是将蒙特卡洛模拟和物质点法相耦合，发展和提出随机物质点法，并对土质滑坡问行定量风险评估；二是基于人工状态方程，发展和提出弱可压物质点法，并应用于求解牛顿、非牛顿流体的流动问题以及流固耦合问题。

数值模拟方法在工程应用和科学研究等领域起着施来趋重要的作用。然而，传统的有网格类方法，如有限无法、有限差分法、有限体积法等，在处理大变形、材料破坏、穿孔、多相介质界面传播等问题时，往往需要借助网格重构技术以避免网格畸变，相应地将遗成算法复杂、精度下降、效率低甚至数值不稳定等问题。不依赖网格的无网格类方法可很好地求解这类有网格方法难以求解的复杂问题。物质点法是一种无网格粒子类方法，由流体流动隐式粒子法演变而来，其来用拉格朗日粒子来离散求解域，同时采用欧拉背景网格求解系统的控制方程，既发挥了拉格朗日算法和欧拉算法的优点，又避免了各自的不足。目前，物质点法已在各类复杂问题的求解中得到了广泛应用，并展现了强大的求解优势。

传统物质点法采用线性插值函数来实现物质点粒子与背景网格节点之间的信息映射，即物质点法仅具有C连续性，因此当物质点粒子穿越背景网格边界时将会产生所谓的“网格穿越误差”，从而造成应力的非物理振荡和求解精度不足等问题。同时，在传统物质点法中，物质点粒子既被用于离散求解域，又被作为积分点求积节点内力，其中加权函数为物质点所占的体积域。因此，在求解大变形问题时，随着物体的运动和变形，物质点的位置和体积变化较大，从而带来积分误差。如何消除传统物质点法的网格穿越误差和积分误差，从而提高其计算精度以一步扩展其工程应用，是当前物质点法研究的热点问题。

本书围绕物质点法的算法及其工程应用的扩展两个方面展开论述。在算法方面，首先，基于粒子子域积分代替物质点积分，提出粒子子域积分物质点法，消除物质点法的积分误差，提高计算精度和计算收敛性；其次，基于B样条基函数代替物质点法的线性插值函数，发展和提出了B样条物质点法，并对B样条物质点的计算精度、计算收敛性和计算效率等方行了系统研究；后，分别基于藏断层次B样条、局部加密B样条和桥城法，提出了B样条物质点法的背景网格局部细化算法，通过具休算例验证算法的有效性。在工程应用方面，一是将蒙特卡洛模拟和物质点法相耦合，发展和提出了随机物质点法，并对土质滑坡问行了定量风险评估；二是基于人工状态方程，发展和提出了弱可压物质点法，并应用于求解牛顿、非牛顿流体的流动问题以及流固耦合问题。

本书由江西理工大学孙政和周晓敏共同撰写完成，其中孙政撰写本书的、三、四、五章节，共约12万字，周晓敏撰写本书的第二、六、七章共约10万字。本书涉及的研究得到了国家自然科学基金青年项目（11902127）、江西省自然科学基金青年项目（20192BAB212010）和江西省教育厅科技项目（GJJ20083pan>）等的支持，江西理工大学博士启动基金（JXXJBS18042）和江西理工大学清江学术文库为本书的出版提供了经费支持，在此一并表示感谢。向在写作过程中参考的国内外文献作者一并表示感谢。感谢笔者的家人和朋友在本人工作、学习中给予的关心和支持。限于笔者的学识，书中难免存在疏漏之处，恳请读者和学界同行不吝指出。

目前，数值计算已广泛应用于求解各类科学问题和工程技术问题，与理论分析和试验研究构成了现代科学技术的三大支柱，并具有快捷、和低成本的优势，同时可以模拟复杂材料、复杂结构及复杂的变形和运动。

数值计算方法中，描述运动的主要形式有拉格朗日法和欧拉法。在拉格朗日法中，求解域与计算网格相固连，材料和网格之间不存在相对运动，控制方程中不存在对流项简化了控制方程的建立和求解，便于追踪物质信息间和空间的变化，同时易于处理与变形历史相关的材料本构模型，计算固体力学多采用拉格朗日法；但当涉及材料特大变形，如破碎、卷曲等强非线性现象时，由于网格畸变的影响，传统的拉格朗日网格法将难以适用。在欧拉法中，计算网格固定于计算空间内，不随物体的运动而运动，通过计算网格边界上质量、动量和能量的通量得到所求解问题的各物理量的空间分布，计算网格在计算过程中保持不变，因此不存在网格畸变问题，在计算流体力学中多采用欧拉法，但欧拉法追踪的是网格边界上质量、动量和能量的通量流动，需求解非线性对流项，增加了求解难度，且难以追踪自由表面和材料交界面，同时不易于追踪各质点的运动时间历程。

将拉格朗日法和欧拉法有机结合，发挥各自的优点、克服各自的缺点，则可求解一系列单一拉格朗日法或欧拉法难以求解的工程问题，物质点法正是一种结合了拉格朗日法和欧拉法优势，并避免了各自不足的无网格粒子型方法。物质点法，首先，将问题域离散成一系列拉格朗日质点，质点携带材料区域的物质信息，并跟随物体运动而运动，便于追踪物质信息间和空间的变化，同时易于处理与变形历史相关的材料本构模型，且不存在网格畸变问题；其次，采用欧拉背景网行空间导数和动量方程的求解，以及实现各质点间的相互作用和联系，减少了粒子搜索算法的耗时，同时易于本质边界条件的施加。物质点法自提出之目起，已在机高速碰撞，冲击侵彻，牌堆冲击，由体滑坡、流团耦合等一系列复杂同题中得到了广泛应用，并展现了强大的求解能力和求解优势。

但受限于线性插值形雨数影啊，物质点法仅具有C”连续性，当质点算越背景网格边界时将会产生所谓的“网格穿稳误差”，造成求解精度的降低。在物质点法中，物质点同时也被作为积分点求解节点内力，其加权函数为物质点所古的体积城。在计算过程中，尤其涉及大变形同题时，随着物质点的运动和变形，物质点体积城变化较大，从丽带来积分误差。因此如何消除和网格穿越误差，减小内力积分误差一步发展高精度物质点算法和扩展其工程应用一直是计算力学研究领域的热点问题之一。

1.2物质点法研究现状

物质点法是Sulsky（苏尔斯凯）等提出的一种粒子型无网格算法，其可追溯到流体力学领城中的质点网格法（partical in cell，PIC）和流体隐式粒子法（luid implieit paricle method,FLIP)。Sulsky等通过流体隐式粒子法，将其运用到求解固体力学问题上，并命名为物质点法（material pointmethod，MPM），其主要有以下几个方面：所有的物理信息及本构方程分别由质点携带和计算，因此可方便处理与历史相关的本构材料模型；基于质点离散，采用等效积分弱形式，重新推导了动量方程的离散格式；采用显式时间积分对控制方行求解。

物质点法隶属于伽辽金型无网格法，其采用有限元法中的线性函数作为插值函数，采用拉格朗日和欧拉双重描述，由一系列的拉格朗日质点离散求解域，并携带材料的所有物质信息括位置、速度、动量、应力应变等历史变量，跟随物体运动而运动；采用欧拉背景网格覆盖整个求解域，在背景网格行空间导数和控制方程的求解，并实现相邻物质点之间的相互作用与联系。

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