泛函分析_(美)沃尔特·鲁丁(Walter Rudin)著_9787111651079

本书不仅详细叙述了拓扑线性空间，包括若干子类局部凸空间、赋范空间、内积空间的公理系统、结构属性及其之上的强弱拓扑、共轭性，还深入论述了该学科离不开的几个专题，即形式上更为一般的三大基本定理与泛函延拓定理,Banach代数特别是Gelfand变换的基本理论，紧算子及其谱理论，自伴算子的谱理论，无界正常算子的谱理论以及Bonsall的闭值域定理，不变子空间的Lomonosov定理等；而且给出了以上基本理论的丰富多彩的应用，包括完整的关于广义函数、Fourier变换及其偏微分方程基本解的论述，对于Tauber型定理的应用，vonNeumann的平均遍历定理，算子半群的Hille-Yosida定理并应用于发展方程等。

泛函分析是一门研究某些拓扑代数结构以及如何把关于这些结构的知识应用于分析问题的学科. 关于这门学科的一本好的入门教科书应该包含其公理系统(即拓扑向量空间的一般理论)的介绍，至少应该讲解某些具有一定深度的专题，应该包括对于其他数学分支的有价值的应用.我希望这本书符合这些准则. 这门学科是庞大的，而且正在迅速发展(［4］的第一卷中参考文献就有96页，还只到1957年).为了写一本中等规模的书，有必要选择某些领域而舍弃其他的方面.我充分意识到,几乎任何一个看过目录的行家都会发现见不到他(和我)所喜爱的某些专题，而这似乎是不可避免的.写成一部百科全书并不是我的目的，我想写一本能够为进一步探索打开通道的书. 因此，本书略去了拓扑向量空间的一般理论中许多更深奥的专题.例如，没有关于一致空间、MooreSmith收敛性、网和滤子的讨论.完备性概念仅仅出现在度量空间的内容中.囿空间没有提到，桶空间也没有.虽然提到了共轭性，但不是以最一般的形式出现的.向量值函数的积分是作为一种工具论述的.我们将重点放在连续的被积函数上，其值在Fréchet空间中. 然而，第一部分的材料对于具体问题的几乎所有应用是足够的.这其实就是这门课程应该强调的：抽象和具体之间紧密的相互作用不仅是这整个学科最有用的方面，而且也是最迷人的地方. 这里对于材料的取舍还具有以下特色.一般理论的相当一部分是在没有局部凸性的假设下叙述的.紧算子的基本性质是从Banach空间的共轭理论导出的.第5章里关于端点存在性的KreinMilman定理有着多种形式的应用.广义函数理论和Fourier变换是相当详尽的，并且(以很简短的两章)应用于偏微分方程的两个问题以及Wiener的Tauber定理及其两个应用中.谱定理是从Banach代数理论(特别地，从交换B*代数的GelfandNaimark特征)导出的，这也许不是最简捷的方法，但却是容易的.此外，相当详细地讨论了Banach代数中的符号演算，对合与正泛函也是如此. 我假定读者熟悉测度理论和Lebesgue积分理论(包括像Lp空间的完备性的知识)，全纯函数的某些基本性质(如Cauchy定理的一般形式和Runge定理)，以及与这两个分析问题相关的基础拓扑知识.另外一些拓扑知识在附录A中简要介绍，除了什么是同态之类的知识外，几乎不需要什么代数背景. 历史性的参考文献汇集在附录B中.其中一些是关于初始来源的，一些是较近时期的书、文章或者可以从中找到进一步参考文献的阐述性文章.当然还有许多条目根本没有提供文献.当缺少具体的参考文献时，绝不意味着我意欲将那些成果攫为己有. 大部分应用放在第5、8、9章中，有些在第11章和250多道习题里.许多习题备有提示.章与章之间的内在联系见下图. 包含在第5章那些应用中的大多数内容都在前4章讲述了.一旦建立了所需要的理论背景，立即给出它们的应用想必是一种好的教学方法.但是，为了不打乱书中理论的叙述，我代之以在第5章开头简短地指出每个问题需要的背景，这就使得必要时容易尽早学习它们的应用. 在第1版中，第10章主要讨论Banach代数中的微分.20年前(直到现在)这些材料看上去是有价值且有发展余地的，但多年来似乎没有取得进展，因此我删除了这些内容.另一方面，我加入了一些更容易融入现有课文的论述：von Neumann的平均遍历定理，算子半群的HilleYosida定理，两个不动点定理，Bonsall关于闭值域定理的出人意料的应用，Lomonosov的引人注目的不变子空间定理.我还重写了某些章节以便阐明某些细节.此外还简化了某些证明. 这些改动多数源于几位朋友和同事的十分热心的建议.我特别要提到的是Justin Peters和Ralph Raimi,他们对于第1版给出了详细的评述.还有第1版的俄文译者，他加入了不少与课文有关的脚注.我感谢他们所有人! Walter Rudin

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