《线性代数》是根据普通高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的，是福建省精品在线开放课程的同步教材。 全书共分6章，内容包括线性方程组与矩阵、行列式、矩阵及其应用、向量组的线性相关性和向量空间、方阵的特征值和特征向量理论、方阵的相似对角化、二次型等。 每章都配有内容小结及习题，并附有习题提示或答案。 《线性代数》以线性方程组为主线，以矩阵的初等变换、矩阵的秩、矩阵的乘法为基本工具，比较自然地阐明了线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。 《线性代数》结构严谨，逻辑清晰，例题丰富；在内容的设计上循序渐进、深入浅出、简明易懂，强调数学的基本思想与应用，在满足教学基本要求的前提下，适当降低理论推导难度，便于理解和掌握。 与《线性代数》配套的在线开放课程，适合读者利用碎片化时间进行预习、练习、期末复习、考研复习或巩固学习。 《线性代数》可作为高等学校理工科和经济管理等各专业线性代数课程的教材，也可供自学者、考研者和工程技术人员等参考使用。
随着计算机技术的飞速发展与数学工程软件的广泛应用,作为处理离散问题与线性问题的线性代数已成为科学技术人才必备的数学基础。为了帮助学生更容易学习、理解和掌握线性代数的精髓,掌握相关的代数知识,让学生学会用代数的方法思考、解决实际问题,本书在以下几个方面做出积极的探索与实践。
(1)加强应用背景的引入。本书中安排了一些简单的案例应用,可加强对基本概念和理论背景的了解及应用,有助于理论联系实际,帮助学生理解抽象的代数概念,进而掌握相关的理论和计算,还有利于拓宽学生的视野,培养学生应用代数知识解决实际问题的能力。
(2)突出以线性方程组和矩阵为主线。从线性方程组的几何意义和消元法出发,以矩阵的初等变换、矩阵的秩和矩阵乘法运算为基本工具,比较自然地阐述线性代数中一些抽象的、重要的基本概念、基本理论和计算方法;教学内容的安排循序渐进、由浅入深、简明易懂,便于理解和掌握。书中带*的教学内容或习题,作为选学或选做内容。
(3)注重课程的系统性和科学性。既注重去抽象,增强基本概念和基本方法的可读性,又注意保持理论分析、内容结构的严谨性;注重突出线性代数的基本理论、基本思想和基本计算,突出知识结构的内在关联与统一;注重知识重点与难点、具体与抽象;课程结构紧凑、难度适中、易学易懂。
(4)配套省级精品在线开放课程(中国大学MOOChttps://www.icourse163.org/course/HQU-1205898823),利用信息化手段使教材更加立体化、生动化。在线课程对线性代数的教学内容进行优化细分,保持每个知识单元与整个课程结构上的一致性;注重概念和方法的可读性,又注意保持简单理论分析的严谨性;课程视频主题明确、由易到难,有利于读者利用碎片时间进行预习、练习、期末复习、考研复习或巩固学习;在线讨论、作业与测验有助于学生对知识点的理解、掌握与应用。
(5)配备不同层次的习题,激发学生的学习兴趣。
(6)引入数学软件解决线性代数问题。结合教材内容,在附录中介绍MATLAB在线性代数计算中的一些用法,以示例解释把理论学习与计算应用结合起来,让学生学会应用数学软件,加深对代数理论的认识。
前言
线性代数是一门经典的代数基础课程，是高校理工类和经管类等学科的一门重要基础课程。 线性代数主要研究线性关系，其核心内容包括线性方程组、矩阵、行列式、向量组的线性相关性、向量空间、线性变换、方阵的特征值和特征向量、方阵的对角化和二次型等。 许多实际问题，如线性规划、电路设计、信息隐藏、计算机图像处理等技术，都可归结为线性问题来解决，因此，线性代数还是一门应用广泛的数学课程。 它不仅是数学专业课程的基础，也是自然科学、工程技术和经济管理等各学科的基础，可以为后继课程提供数学知识，将理论、计算和应用融合在一起，为各个学科领域提供通用的分析问题与解决问题的方法，在科学计算与实际应用中起着重要作用。
随着计算机技术的飞速发展与数学工程软件的广泛应用，作为处理离散问题与线性问题的线性代数已成为科学技术人才必备的数学基础。 为了帮助学生更容易学习、理解和掌握线性代数的精髓，掌握相关的代数知识，让学生学会用代数的方法思考、解决实际问题，《线性代数》在以下几个方面做出积极的探索与实践。
（1） 加强应用背景的引入。《线性代数》中安排了一些简单的案例应用，可加强对基本概念和理论背景的了解及应用，有助于理论联系实际，帮助学生理解抽象的代数概念，进而掌握相关的理论和计算，还有利于拓宽学生的视野，培养学生应用代数知识解决实际问题的能力。
（2） 突出以线性方程组和矩阵为主线。从线性方程组的几何意义和消元法出发，以矩阵的初等变换、矩阵的秩和矩阵乘法运算为基本工具，比较自然地阐述线性代数中一些抽象的、重要的基本概念、基本理论和计算方法；教学内容的安排循序渐进、由浅入深、简明易懂，便于理解和掌握。书中带*的教学内容或习题，作为选学或选做内容。
（3） 注重课程的系统性和科学性。 既注重 去抽象，增强基本概念和基本方法的可读性，又注意保持理论分析、内容结构的严谨性；注重突出线性代数的基本理论、基本思想和基本计算，突出知识结构的内在关联与统一；注重知识重点与难点、具体与抽象；课程结构紧凑、难度适中、易学易懂。
（4） 配套省级精品在线开放课程(中国大学MOOC https://www.icourse163.org/course/HQU-1205898823），利用信息化手段使教材更加立体化、生动化。 在线课程对线性代数的教学内容进行优化细分，保持每个知识单元与整个课程结构上的一致性；注重概念和方法的可读性，又注意保持简单理论分析的严谨性；课程视频主题明确、由易到难，有利于读者利用碎片时间进行预习、练习、期末复习、考研复习或巩固学习；在线讨论、作业与测验有助于学生对知识点的理解、掌握与应用。
（5） 配备不同层次的习题，激发学生的学习兴趣。
（6） 引入数学软件解决线性代数问题。 结合教材内容，在附录中介绍MATLAB在线性代数计算中的一些用法，以示例解释把理论学习与计算应用结合起来，让学生学会应用数学软件，加深对代数理论的认识。
《线性代数》由华侨大学数学科学学院谢小贤、李鸿萍和黄哲煌共同执笔，其中，第1、3、4章及附录由谢小贤编写，第2章由黄哲煌编写，第5、6章由李鸿萍编写，全书由谢小贤统稿和定稿。
与《线性代数》同步的精品在线开放课程获得2017年华侨大学精品在线开放课程建设立项，获得2017年福建省精品在线开放课程建设立项。《线性代数》的编写获得2019年华侨大学教材编写立项资助，并得到华侨大学教务处、数学科学学院领导们与同事们、清华大学出版社的大力支持与帮助，在此一并表示感谢！
限于编者的水平，书中难免有不足之处或缺点，欢迎读者批评指正。
《线性代数》提供课件和习题参考答案，下载地址如下：
课件 习题参考答案
编者
2019年4月
目录
第1章 线性方程组与矩阵 1
1.1 线性方程组的基本概念 1
1.1.1 线性方程组的定义 1
1.1.2 二元和三元线性方程组的几何意义 3
1.2 线性方程组的消元法和初等变换 6
1.2.1 线性方程组的消元法 6
1.2.2 行阶梯形方程组和行最简形方程组 7
1.2.3 线性方程组的初等变换8
1.3 矩阵及其初等变换10
1.3.1 矩阵的概念10
1.3.2 特殊矩阵12
1.3.3 矩阵的初等变换15
1.3.4 线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换的关系16
1.3.5 行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵和标准形19
1.3.6 矩阵的秩24
1.4 线性方程组的解的判定定理26
1.4.1 n元非齐次线性方程组的解的判定定理26
1.4.2 n元齐次线性方程组的解的判定定理29
1.5应用举例33
1.6本章小结35
1.7习题一37
第2章行列式44
2.1二阶与三阶行列式44
2.2全排列和对换46
2.2.1全排列及其逆序数46
2.2.2对换47
2.3n阶行列式47
2.4行列式的性质50
2.5行列式按行（列）展开55
2.6行列式的应用 62
2.6.1克拉默(Cramer)法则62
2.6.2平行四边形或三角形的面积66
2.6.3平行六面体的体积66
2.6.4曲线方程67
2.7本章小结68
2.8习题二71
第3章矩阵及其应用76
3.1矩阵的运算76
3.1.1矩阵的加法与数乘运算76
3.1.2矩阵的乘法77
3.1.3方阵的幂与多项式82
3.1.4矩阵的转置83
3.2分块矩阵85
3.2.1分块矩阵的基本概念85
3.2.2常用的分块矩阵86
3.2.3分块矩阵的运算87
3.2.4分块矩阵的应用90
3.3方阵的行列式94
3.3.1方阵行列式的定义94
3.3.2方阵行列式的性质94
3.3.3伴随矩阵及其性质96
3.4方阵的逆矩阵98
3.4.1逆矩阵的定义98
3.4.2逆矩阵的性质99
3.4.3方阵可逆的充要条件100
3.4.4逆矩阵的计算101
3.4.5逆矩阵的应用105
3.5初等矩阵与初等变换109
3.5.1初等矩阵109
3.5.2初等变换与初等矩阵的关系111
3.5.3初等变换与初等矩阵的应用113
3.6矩阵秩的等价刻画119
3.6.1矩阵秩的等价定义119
3.6.2矩阵秩的计算122
3.6.3矩阵秩的性质124
3.6.4矩阵秩的应用126
3.7应用举例126
3.8本章小结129
3.9习题三 134
第4章向量组的线性相关性和向量空间140
4.1 n 维向量140
4.1.1 n维向量的基本概念140
4.1.2向量的线性运算141
4.1.3向量组与矩阵、 线性方程组的关系142
4.2向量组之间的线性表示143
4.3向量组的线性相关性149
4.3.1向量组线性相关性的定义149
4.3.2向量组线性相关性的判定定理150
4.3.3向量组线性相关性的性质151
4.4向量组的秩155
4.4.1向量组的最大无关组和秩155
4.4.2向量组的秩和矩阵的秩的关系157
4.5线性方程组的解的结构161
4.5.1齐次线性方程组的解的结构162
4.5.2非齐次线性方程组的解的结构168
4.6向量空间171
4.6.1向量空间的概念171
4.6.2向量空间的基、 维数和坐标172
4.6.3基变换和坐标变换174
4.7应用举例175
4.8本章小结177
4.9习题四180
第5章方阵的特征值与特征向量理论188
5.1内积与正交矩阵188
5.1.1n维向量的内积188
5.1.2正交向量组与施密特(Schmidt)正交化方法189
5.1.3正交矩阵192
5.2方阵的特征值与特征向量193
5.2.1特征值与特征向量的概念193
5.2.2特征值与特征向量的计算194
5.2.3特征值与特征向量的性质196
5.3方阵的相似对角化198
5.3.1相似矩阵的概念与性质198
5.3.2方阵相似对角化的条件与计算199
5.4实对称矩阵的相似对角化202
5.5应用举例206
5.6本章小结209
5.7习题五211
第6章二次型217
6.1二次型及其矩阵表示217
6.1.1二次型的定义217
6.1.2矩阵的合同219
6.2化二次型为标准形220
6.2.1用正交变换化二次型为标准形221
6.2.2用配方法化二次型为标准形223
*6.2.3用初等(合同)变换法化二次型为标准形225
6.3正定二次型227
6.3.1惯性定理227
6.3.2二次型的正定性229
6.4二次型的应用二次曲面232
6.5本章小结236
6.6习题六237
附录MATLAB在线性代数中的应用241
参考文献251
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